无需预校正的高速高精度倾斜照明反射式叠层成像

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1.方法简介叠层成像具有无透镜，光路简单，分辨率高，无需高质量光学元件等优点。在表面形貌测量等领域中，叠层成像光路需设置为反射式。我们推导了基于离轴衍射的反射正向传播模型，光束相对于物平面与衍射面的角度相同，无需预校正的过程。基于提出的传播模型，我们开发了rPIE联合自适应阈值TV（Total Variation）去噪的算法，抑制了传感器噪声与实验可能存在的不准确性的影响，成功重建了反射式样品。

2. 技术原理

我们假设样品位于物体平面 ，并被绕x轴与y轴旋转的倾斜入射光束照射。探测器位于记录平面 ，并且平行于样品平面放置，平行平面间的距离为 。为了便于分析，我们可以将被反射的入射光束等效为与物体平面对称的透射光束，并将反射式样品表面对光束的调制函数 作为复透过率函数，于是传播过程可以描述为一个离轴衍射过程。根据图1所示坐标系，从样品平面出射的光束传播 至探测器平面上， 分别在 平面与 平面上的投影分量与 轴的夹角为 与 ，空间位移矢量 与 轴的夹角为 ，由于倾斜入射，探测器平面发生横向位移为 ，存在坐标关系： ，其中 定义为反射光束的倾斜因子，是角 的余弦值，大小为： 。
图1 离轴反射传播示意图

利用坐标关系，根据角谱法可得输出光场 与输入光场 的关系为：

定义一个新的相位项因子 来描述沿倾斜方向上的传播相位因子。事实上，这个波矢量是角谱在倾斜轴上的投影分量，即：

倾斜平面波通过样品调制后衍射得到输出光场，由于倾斜入射导致存在大入射角的高振荡项，影响采样，可改变积分变量，消除影响：

我们可以将积分变量解释为一个移位的波矢量分量，可由下式得到：

舍弃积分外的项，考虑波矢量关系 ，并转为标量运算，我们可以得到最终的传输模型的传递函数表达式：

其中：

。

取出传递函数中的幂指数项，在大频率处展开为泰勒级数，以计算采样条件：

其中 。值得注意的是，对于近轴光束我们可以忽略第三项以及更高阶的项，然而对于具有较大入射角的非近轴光束，这个近似并不成立。然而我们可以只考虑前两项，来分析一般情况下较为宽松的采样条件。x,y方向是正交的，采样条件可以分别评估。当相位以模 进行编码时，要求相邻的两个采样点之间的相位变化不超过 。令L为计算平面对应的物理尺寸，在x方向上像素大小为Δx，样本位置从 。采样要求为：

不难看出，随着入射角度变化，对于采样的要求是变化的。为了获得更为宽松的采样条件，可以使用修改后的传递函数 代替计算。这是合理的，因为新引入的相位因子相当于对衍射图进行了一个平移，在进入迭代计算之前，需要将实验得到的衍射图案平移到

这是一个很简单的操作，比衍射图畸变要求的预校正要快速与简单很多。当然，若满足原式采样条件，采用修改前的离轴传递函数也是完全可行的。

由于实验中不可避免引入实验参数误差与噪声，重建结果产生伪影。为了增强重建效果，我们在rPIE算法中融入自适应阈值TV去噪过程。为了在迭代过程中自适应的使得正则化参数逼近阈值，快速估计噪声大小是关键。探测器引入噪声主要为高斯噪声和泊松噪声。其中由光子分布引起的泊松噪声，可以提高曝光时间，增大光子通量而极大提升信噪比，因此主要考虑高斯噪声。高斯噪声快速估计使用一个3×3的算子 实现，由两个近似拉普拉斯算子作差构造，以适应具有较多边缘信息的图像。

将算子应用于图像：

第一项为理想图像的变换，在平滑区域接近0，第二项为噪声，为主要的贡献值。对于均值为0的高斯分布，我们有：

其中，由于噪声是主要贡献值， 可对图像应用算子，并计算绝对值的和来估计，进行归一化后，可得噪声标准差的估计值为：

其中M,N分别为图像在x,y方向上的像素数。我们使用上式快速估计更新后的样品函数的噪声大小，并将其作为自适应阈值输入去噪器中。

3.实验

可见光半导体激光器（Verdi G2 SLM，Coherent Inc.）发射波长为532nm的连续激光光束，设定为最小输出功率10mW。为了保证探测器不过曝，激光经由两个反射镜 反射，调整为水平后，首先通过一个线偏振片LP ，旋转线偏振片可调节通过的光功率大小。随后使用一个显微物镜L1将光束聚焦到小孔空间滤波器S1上，再经过一个凸透镜L2完成对激光的扩束准直。平面波再经过一个小孔光阑 ，形成探针光束，相对于样品表面倾斜入射，入射角 约为20°， 约为1°。样品被放置在一个电动的两轴扫描位移台上(2 × DAHENG GCD-T25M)，位移台放置在旋转台上(DAHENG  GCM-1107M)，为了规避栅格伪影，扫描路径被设置为费马螺旋,以更均匀地覆盖图案，共扫描36个位置，两个相邻扫描位置之间的平均距离约为0.371毫米，交叠率的平均估计值约为87%，我们将BASLER a2A4504-18umPRO相机（4504×4504个像素，像素大小为2.74微米×2.74微米）阵面与样品面平行放置。将探测器阵面平面与样品平面间的垂直距离设置为34.1mm 。在数据采集时，实际使用的阵面大小为3400×3400，以减小无用的数据量，增加重建速度，并满足我们推导的采样条件。在采集完样品衍射图后，移开样品，拍摄探针衍射图，反传播后作为探针的初始猜测输入rPIE算法中。所有算法均在个人笔记本上运行，其搭载13th Gen Intel(R) Core(TM) i5-13500H CPU @ 2.60 GHz and 16GB of memory, NVIDIA GeForce RTX 4060 Laptop GPU @ 8 GB of memory. 其中rPIE算法联合全变分正则化去噪过程使用GPU进行加速。

图2 反射式叠层成像实验设置。
4. 结果和讨论

利用倾斜平面预校正（TPC）方案，以及我们提出的方法对同一个样品进行了实验。均使用我们提出的嵌入自适应全变分正则化去噪的rPIE重建算法，重建前TPC方案需要对衍射图预校正，且不改变前向模型。rPIE迭代计算30次后，两种方法均基本收敛，重建结果如图3所示，TPC方案总用时约606.9秒，我们的方法总用时约261.7秒。值得注意的是，两种方法均未对实验参数进行算法上的较为精确的校正，两者比较后可以发现，本文提出的方法不仅重建速度快(相比提升1.3倍)，重建结果准确度更高（第六组第六线对的分辨率约为4.38微米）。本文的方法由于从传输模型上避免了预校正过程，避免了预校正过程引入的参数误差而导致的强烈的迭代伪影，仅需一个去噪过程即可抑制迭代噪声，获得更好的重建结果。

图3 （a）TPC与（b）我们提出的方法重建结果以及部分区域放大图

我们在不同去噪情况下比较了本文提出方法的重建结果，可以直观的看到不同情况下的重建结果差异。自适应阈值方法以更加优雅和便捷的过程既最大程度上抑制了噪声，又保证具有较好的分辨率和对比度。迭代过程中的均方误差与阈值变化如图4(f)所示，迭代初期阈值较大，用来抑制明显的噪声，迭代后期阈值下降，并收敛稳定在一个值附近，即可以防止高分辨率信息丢失，又可以抑制由于振幅替换与实验误差不断引入的迭代噪声。且两者几乎同时达到收敛，确保了去噪的高效性。我们还使用tamura of the gradient (TOG)来表征图像清晰度，以此来评估不同去噪策略下的效果。从图4(g)可以看出,随着迭代次数的增加，由于噪声的影响，TOG评估函数的幅度逐渐减小，在加入去噪过程后，自适应阈值表现出最佳的效果。 图4 不同去噪策略下的结果。(a)无去噪;(b) 大正则化参数;(c) 小正则化参数;(d)自适应阈值;(e)不同方法红线处的相位值;(f)MSE与自适应阈值曲线;(g)不同去噪策略下重建图像的TOG评估函数的变化

使用表面高度更低的AFM测试目标(HS-100MG)进行了实验。标准样品的边缘为间距均为10微米的方孔与圆柱周期排列。由于样品较小，我们改变光阑的大小，以此缩小了探针光斑的大小，此时的重叠率估计值约73%。该实验条件下表面形貌信息h(x,y)可由解包裹后的相位信息获取：

其中，λ为光波波长， 为倾斜入射光波的倾斜因子。从重建的相位中成功恢复了表面形貌。事实上，上式仅为一个估计值，因为忽略了倾斜入射的光束从侧面穿过柱状二氧化硅而引起光程差变化的情况。统计了单箭头区域的高度直方图，计算得此结构平均相对特征高度约121nm，与标准样品的最大标称值的一致性约为88%。

图5 在原子力显微镜测试目标上的结果。(a)显微镜下目标图像。(b)和(c)分别为振幅与相位重建结果，圈中区域缺陷与(a)对应。(d)原子力显微镜测试目标的横截面布局。在平坦的硅表面上，制造规则的二氧化硅图案。二氧化硅的高度为h。(e)(b)中竖线区域强度曲线，计算得方孔阵列周期约10微米。(f)(c)中方框区域表面形貌图。(g)箭头区域表面形貌图。(h)(g)区域的高度直方图，计算得平均相对特征高度约121nm.
5. 结论
我们提出了一种使用自适应阈值全变分去噪算法增强的基于倾斜照明的菲涅尔域快速高精度反射式叠层成像方法，并使用USAF 1951 分辨率板以及原子力显微镜测试目标研究了方法的可行性与准确性。本文从衍射传输模型的选择上规避了预校正过程，准确高速，同时保留了叠层成像光路简单的优点，易于装调。并引入了自适应阈值全变分去噪方法，尽可能抑制噪声与实验不准确性的影响。我们相信我们的方法将可以推动反射式叠层成像在表面形貌检测等领域的应用。

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